| Unidade 2 -
Olá, estudante, bem-vindo(a) à segunda unidade. Faremos aqui os estudos sobre os centos de massa e de gravidade. Em nossa primeira aula, veremos sobre o atrito. Continue os estudos desta disciplina e boa aula!
A força de atrito é definida como uma força de resistência ao movimento. Em Física 1, vimos que o atrito é uma força que é contrária à tendência de movimento. Aqui em Mecânica vamos utilizar a definição de que o atrito tende a se opor ou retardar um possível deslizamento de um corpo em relação a outro.
Existem dois tipos de atrito, o atrito fluido leva em consideração a existência de camadas fluidas na interface
de contato de dois corpos e é tratada em mecânica dos fluidos e o atrito seco que é fundamentalmente atribuído à natureza elétrica dos corpos do ponto de vista microscópico também podendo ser chamado de atrito de Coulomb.
Na teoria do atrito seco devemos considerar quais são os efeitos causados ao se polir horizontalmente um bloco de peso uniforme \(\overrightarrow w = m\overrightarrow g \) (Figura a seguir) em repouso sobre uma superfície horizontal rugosa (não podemos considera-la lisa, pois neste caso poderíamos aproximar o problema para o caso ideal sem atrito).
Desenhando o diagrama de corpo rígido do bloco (Figura 2), pode-se notar que o peso distribui duas forças ao longo da superfície de contato: a força normal \(\Delta {N_n}\) e a força de atrito \(\Delta {F_n}\). Na condição de equilíbrio estático, as forças normais atuam no sentido de baixo para cima para contrabalancear o peso W enquanto que para balancear a força P a força de atrito atua da direita para esquerda, como mostra a figura seguinte.
De agora em diante, representaremos a força de atrito e a força normal por suas respectivas resultantes F e N.
Podemos aumentar gradativamente a ação da força P até atingirmos a condição de iminência de movimento, que é a condição limite para que o bloco ainda permaneça em equilíbrio estático e passe a apresentar
movimento. Nas condições que \(P \le F\), temos:
\[{F_e} = {\mu _e}N ^{ (9.1)}\]
onde \({\mu _e}\) é uma constante de proporcionalidade chamada de coeficiente de atrito estático que depende da natureza dos materiais em contato e \(F_{e}\) é chamado de força de atrito estático.
Na condição que \(P > F\) o bloco inicia o movimento e a força de atrito passa a ser chamada de força de atrito cinético (ou dinâmico) e é dado por:
\[{F_c} = {\mu _c}N ^{ (9.2)}\]
Onde \({\mu _c}\) é uma constante de proporcionalidade chamada de coeficiente de atrito cinético que depende da natureza dos materiais em contato e \(F_{c}\) é chamado de força de atrito cinético.
A Figura 3 mostra o gráfico da força de atrito em função da força P aplicada. Observe a linha tracejada que indica a iminência de movimento e, portanto, o limiar de validade da teoria de estática de corpos rígidos.
Obviamente, como estamos considerando estática de corpos rígidos, não vamos trabalhar com situações que envolvam a força de atrito cinético até tratarmos de dinâmica dos corpos rígidos.
Podemos enumerar as características do atrito seco a partir de experimentos e discussões:
Os alunos podem encontrar mais sobre a teoria do atrito seco e exercícios no link a seguir:
Forças de Atrito Seco
A seguir, veremos como a força de atrito atua em algumas estruturas frequentemente utilizadas em engenharia civil como calços, parafusos, correias e mancais.
Chamamos de calço ou cunha um dispositivo utilizado para posicionar ou levantar uma grande massa m (Figura 4).
Os calços também são frequentemente utilizados para proporcionar pequenos deslocamentos ou ajustes na posição de grandes carregamentos.
Os parafusos são dispositivos utilizados para fixação de suportes, máquinas e são incorporados para transmitir potência ou movimento de uma parte da máquina para outra.
Um parafuso pode ser imaginado como um plano inclinado enrolado num cilindro como na Figura 6. Dessa maneira, uma porca inicialmente na posição A do parafuso se moverá para cima até B quando ela for rotacionada de 360º em torno do parafuso.
A análise de como as forças de atrito ocorrem num parafuso dependem se o parafuso está sendo torcido em um movimento ascendente ou descendente. Assim, saber como as forças de atrito agem num parafuso se torna necessário para conhecer o momento M necessário para girar o parafuso.
Exemplos sobre parafusos e sobre os cálculos por trás da teoria envolvida na determinação das forças de atrito em parafusos podem ser encontrados no link a seguir.
Mecânica I (FIS-14)
Correias são utilizadas para transmissão de movimento e, toda vez que são projetadas, é necessário determinar as forças de atrito desenvolvidas entre a correia e o material de contato.
A Figura 7 mostra uma ilustração de uma correia plana submetida à tração \(T_{2}\) necessária para puxar a correia no sentido anti-horário, onde \(\beta \) é o ângulo total da correia em contato com a superfície.
Uma análise do diagrama de corpo libre de um segmento da correia nos permite determinar a tração \(T{2}\) em função da tração \(T{1}\), do ângulo \(\beta \) é do coeficiente de atrito \(\mu \) .
\[{T_2} = {T_1}{e^{\mu \beta }} ^{ (9.3)}\]
Onde \(T_{1}\) e \(T_{2}\) são trações na correia. \(T_{1}\) se opõe à direção do movimento da correia ou a iminência dela em relação à superfície.
A demonstração completa desta equação pode ser encontrada no link a seguir:
Mecânica I (FIS-14)
Mancais axiais e mancais de escoras com anéis são usados em máquinas para sustentação de cargas devido a um eixo de rotação.
Mancais geralmente não são lubrificados e as leis de atrito seco podem ser utilizadas para determinação do momento M suficiente para rotacionar o eixo quando este estiver sujeito à ação de uma força axial <b><i>P</i></b>. Considere o mancal da Figura 8.
A intensidade do momento M necessário para a iminência da rotação do eixo é dada por:
\[M = \frac{2}{3}{\mu _e}P\left( {\frac{{R_2^3 - R_1^3}}{{R_2^2 - R_1^2}}} \right) ^{ (9.4)}\]
Onde \({\mu _e}\) é o coeficiente de atrito estático, \(P\) é a força axial, \({R_1}\) e \({R_2}\) são respectivamente os raios interno e externo do anel.
Mancais radiais ou mancais de deslizamento (Figura 9) são utilizados quando o eixo está sujeito a cargas laterais.
Nestes mancais, a intensidade do momento necessário para superar o atrito é dada por
\[M \approx Rr{\mu _c} ^{ (9.5)}\]
Onde \(R\) é força reativa do mancal e \(r\) é o raio do eixo.
O rolamento ocorre quando um disco gira sem deslizar ao longo de uma superfície. O rolamento é o tipo de movimento que pode ser decomposto em dois: uma rotação seguida de uma translação.
Considere por exemplo um cilindro rígido rolando com velocidade constante por uma superfície rígida (Figura 10).
Para mantermos o cilindro em equilíbrio dinâmico (rolando com movimento uniforme) é necessário que a reação N seja concorrente com a força propulsora P e o peso W. Neste caso teremos:
\[P \approx \frac{{Wa}}{r} ^{ (9.6)}\]
Onde \(a\) é chamado de coeficiente de resistência ao rolamento e tem dimensão de comprimento e \(r\) é o raio do cilindro.
A diferença entre centro de massa e centro de gravidade é que o centro de gravidade G é ponto onde se localiza o peso resultante, enquanto o centro de massa é onde está concentrada toda massa de um corpo, ou seja, onde atuam as forças externas.
Veremos a definição de centroide na próxima seção, que será dedicada a esse conceito.
Considere um sistema de partículas onde cada partícula possua um peso W. O peso resultante, ou seja, o peso total de todos os n pontos materiais é dado por:
\[{W_R} = \sum W ^{ (10.1)}\]
Podemos determinar as coordenadas \(\bar x,\bar y,\bar z\) do centro de gravidade G de um sistema de partículas a partir das equações:
\[\begin{array}{l} \bar x = \frac{{\sum {\tilde xW} }}{{\sum W }}\\ \bar y = \frac{{\sum {\tilde yW} }}{{\sum W }}\\ \bar z = \frac{{\sum {\tilde zW} }}{{\sum W }} \end{array} ^{ (10.2)}\]
Onde \(\bar x,\bar y,\bar z\) são as coordenadas do centro de gravidade G do sistema de partículas, \(\tilde x,\tilde y,\tilde z\) são as coordenadas de cada partícula no sistema e \(\sum W \) é a resultante dos pesos de todas as partículas do sistema.
Se, ao invés de um sistema de partículas, nós estivermos analisando um corpo rígido constituído por uma infinidade de partículas, devemos substituir o sinal de somatório por uma integral nas equações 10.2, da seguinte maneira:
\[\begin{array}{l} \bar x = \frac{{\int {\tilde xdW} }}{{\int {dW} }}\\ \bar y = \frac{{\int {\tilde ydW} }}{{\int {dW} }}\\ \bar z = \frac{{\int {\tilde zdW} }}{{\int {dW} }} \end{array} ^{ (10.3)}\]
Podemos verificar que o centro de gravidade coincide com o centro de massa apenas nos locais onde o vetor aceleração da gravidade seja constante, que é uma premissa válida para vários problemas em engenharia.
A demonstração das equações 10.2 e 10.3 podem ser encontradas no link a seguir.
Capítulo IX - Parte I | Centro de Gravidade e Centroide
O centroide C é um ponto que define o centro geométrico de um corpo.
Para determinar as coordenadas do centroide C, pode-se usar equações semelhantes às equações 10.2 e 10.3. Para facilitar o processo, se o material que compõe o corpo for homogêneo, a densidade do corpo pode ser cancelada na integração, o que facilita os cálculos.
Podemos subdividir o corpo em pequenos elementos de linha, área e volume. Ao fazer isso, as coordenadas do centroide C podem ser obtidas respectivamente das seguintes maneiras:
\[\bar x = \frac{{\int\limits_L {\tilde xdL} }}{{\int\limits_L {dL} }}{\rm{ }}\bar y = \frac{{\int\limits_L {\tilde ydL} }}{{\int\limits_L {dL} }}{\rm{ }}\bar z = \frac{{\int\limits_L {\tilde zdL} }}{{\int\limits_L {dL} }} ^{ (10.4)}\]
\[\bar x = \frac{{\int\limits_A {\tilde xdA} }}{{\int\limits_A {dA} }}{\rm{ }}\bar y = \frac{{\int\limits_A {\tilde ydA} }}{{\int\limits_A {dA} }}{\rm{ }}\bar z = \frac{{\int\limits_A {\tilde zdA} }}{{\int\limits_A {dA} }} ^{ (10.5)}\]
\[\bar x = \frac{{\int\limits_V {\tilde xdV} }}{{\int\limits_V {dV} }}{\rm{ }}\bar y = \frac{{\int\limits_V {\tilde ydV} }}{{\int\limits_V {dV} }}{\rm{ }}\bar z = \frac{{\int\limits_V {\tilde zdV} }}{{\int\limits_V {dV} }} ^{ (10.6)}\]
A demonstração das equações 10.4 a 10.6 são simples, mas também podem ser encontradas no texto a seguir:
Capítulo IX - Parte I Centro de Gravidade e Centroide.
Devido ao fato de que várias estruturas apresentam elementos de simetria, essas características também podem e devem ser utilizadas a nosso favor na hora de determinarmos geometricamente a localização do centroide. Antes de utilizar as equações anteriores, certifique-se de que o corpo analisado apresente ou não elementos de simetria. Assim, quando existe um eixo de simetria nas formas geométricas, o centroide se localizará sobre esse eixo, e, quando houver mais de um eixo de simetria, o centroide estará localizado sobre a interseção deles. As formas geométricas da Figura 11 ilustram esses exemplos.
Um corpo é considerado composto quando podemos identificar dentro dele outras formas mais simples.
Desta maneira, esse corpo pode ser dividido, eliminando, assim a necessidade de integração para obtermos seu centro de gravidade. As equações utilizadas são as mesmas representadas nas equações 10.2 e serão utilizadas para cada um dos formatos que compõem o corpo original.
Exemplos de como utilizar esse método são ilustrados no texto a seguir:
Capítulo IX - Parte I Centro de Gravidade e Centroide.
Esses teoremas são utilizados para determinar áreas e volumes de sólidos que são obtidos a partir da revolução de uma figura geométrica, chamados sólidos de revolução.
Para determinação de superfícies:
Em outras palavras, temos:
\[A = \theta \bar rL ^{ (10.7)}\]
Onde A é a área de revolução, \(\theta \) é o ângulo de revolução dado em radianos, \(\overline{r}\) é a distância perpendicular do eixo de revolução ao centroide da curva geradora e L é o comprimento da curva geradora (Figura 12).
Para determinação de volumes:
O volume de um corpo de revolução é igual ao produto da área gerada pela distância percorrida pelo centroide da área de geração do volume.
Deste modo:
\[V = \theta \bar rA^{(10.8)}\]
Onde V é o volume, \(\theta \) é o ângulo de revolução dado em radianos, \(\overline{r}\) é a distância perpendicular do eixo de revolução ao centroide da área geradora e A é a área geradora.
Para demonstração completa dos teoremas de Pappus e Guldinus acesse o link a seguir:
Capítulo IX - Parte II | Centro de Gravidade e Centroide
Vamos considerar, nesta parte da aula, como um carregamento variável pode ser distribuído em superfícies de variadas formas geométricas. Vamos determinar dois fatores importantes. O primeiro será a intensidade da força resultante e o segundo, a localização desta força.
Para determinação da força resultante, realizaremos uma soma sobre cada elemento infinitesimal de força dF que atua sobre toda a superfície A da placa. Assim:
\[{F_R} = \int\limits_A {p(x,y)dA = \int\limits_V {dV} } ^{ (10.9)}\]
Onde p(x,y) é o carregamento distribuído em função das coordenadas x e y. Portanto, verificamos que a intensidade da força resultante é igual ao volume total sob o diagrama do carregamento distribuído.
A localização \((\bar x,\bar y)\) da força resultante será determinado a partir dos momentos de todas as forças dF em relação a seus eixos através das equações:
\[\bar x = \frac{{\int\limits_A {xp(x,y)dA} }}{{\int\limits_A {p(x,y)dA} }} = \frac{{\int\limits_V {xdV} }}{{\int\limits_V {dV} }}{\rm{ }}\bar y = \frac{{\int\limits_A {yp(x,y)dA} }}{{\int\limits_A {p(x,y)dA} }} = \frac{{\int\limits_V {ydV} }}{{\int\limits_V {dV} }} \text{ (10.10)}\]
Desta forma, podemos verificar que a linha de ação da força resultante passa pelo centroide do volume do diagrama de carregamento distribuído.
Para as demonstrações das equações 10.9 e 10.10 e para exemplos de como aplicá-las, acesse o link:
Aula 14 - Sistemas Equivalentes de Cargas Distribuídas
Pressão é uma força exercida numa determinada área. Assim, quando tratamos da pressão de um fluido, abordaremos a intensidade da força peso da coluna de gua imediatamente acima de um corpo
submerso.
Pascal afirma que a pressão p que um fluido em repouso cria num ponto P é a mesma em todas as direções e é dada por:
\[p = \rho gz ^{ (10.11)}\]
Onde \(\rho \) é a densidade de massa do fluido, g é a aceleração da gravidade e z é a profundidade do ponto P até a superfície do fluido.
Vimos, na aula anterior, que para determinarmos a posição \(\overline {x}\) do centroide C de um objeto subdividido em elementos infinitesimais de área dA bastava utilizarmos a seguinte equação
\[\bar x = \frac{{\int\limits_A {\tilde xdA} }}{{\int\limits_A {dA} }}\]
Observe que o termo \(\int {xdA} \) representa o primeiro momento da área em relação a um eixo. A integral do segundo momento, ou seja, \(\int {{x^2}dA} \) é chamada de momento de inércia de áreas.
O momento de inércia de uma área surge quando é feita a relação entre a força por unidade de área \(\sigma = \frac{F}{A}\) sobre uma seção transversal de uma viga e o momento M que causa curvatura desta viga (Figura 13).
Na disciplina de Mecânica dos Materiais, é possível mostrar que a tensão na viga varia linearmente com a distância de um
eixo que passa pelo centroide C da área de seção transversal, ou seja:
\[\sigma = kz ^{(11.1)}\]
A intensidade da força \(dF\), que atua num elemento infinitesimal de área \(dA\), mostrado na figura 13 então, será:
\[dF = \sigma dA \Rightarrow dF = kzdA ^{(11.2)}\]
Como podemos ver na figura, essa força atua a uma distância \(z\) do eixo \(y\) e provoca um momento de \(dF\) em relação ao eixo \(y\) dado por:
\[dM = zdF \Rightarrow dM = k{z^2}dA ^{(11.3)}\]
Realizando uma integração sobre toda distribuição de tensão, obteremos o momento M aplicado:
\[M = k\int {{z^2}dA} ^{(11.4)}\]
Essa integral representa o momento de inércia da área em relação ao eixo \(y\), e integrais como essa aparecem frequentemente em Mecânica dos Materiais, Mecânica dos Fluidos, Projeto de Máquinas.
Dessa forma, os engenheiros devem se familiarizar com elas.
Para objetos que se encontram no plano \(x{\rm{ - }}y\), como na Figura 14, podemos obter os momentos de inércia de um elemento infinitesimal de área \(dA\) em relação ao eixo \(x\), \(d{I_x} = {y^2}dA\) e em relação ao eixo \(y\) \(d{I_y} = {x^2}dA\).
Por simples integração, podemos obter os momentos de inércia de áreas:
\[\begin{array}{l} {I_x} = \int\limits_A {{y^2}dA} \\ {I_y} = \int\limits_A {{x^2}dA} \end{array} ^{(11.5)}\]
Observando a Figura 14 é possível também associar um momento do elemento de área \(dA\) em relação ao polo O ou ao eixo \(z\). Esse momento é chamado de momento polar de inércia, dado por \(d{J_O} = {r^2}dA\). Para uma área total, o
momento polar de inércia é escrito como:
\[{J_O} = \int\limits_A {{r^2}dA = {I_x} + {I_y}} ^{(11.6)}\]
uma vez que é fácil verificar que \({r^2} = {x^2} + {y^2}\).
\({I_x},{I_y}\) e \({J_O}\) são sempre positivos, já que envolvem o produto da distância ao quadrado por uma área. No Sistema Internacional de Unidade (SI) a unidade de medida do momento de inércia é \([{m^4}]\).
Os momentos de inércia de várias áreas que passam pelo centroide são conhecidos, entretanto, podem surgir problemas nos quais seja necessário conhecer o momento de inércia de áreas que passam por um eixo paralelo. Utilizaremos, então, o teorema dos eixos paralelos para resolvermos esses tipos de problemas. Considere a figura 15:
É possível mostrar que o momento de inércia da área total em relação ao eixo \(x\) depende do momento de inércia da área
total em relação ao eixo \(x'\) que passa pelo centroide e é dado por:
\[{I_x} = {\bar I_{x'}} + {Ad_y^2 }^{(11.7)}\]
Onde \({d_y}\) é a distância entre o eixo \(x'\) que passa pelo centroide e o eixo \(x\) paralelo. De forma análoga, o momento de inércia da área total em relação ao eixo \(y\) é:
\[{I_y} = {\bar I_{y'}} + {Ad_x^2 }^{(11.8)}\]
E o momento polar de inércia em relação ao polo \(z\) fica
\[{J_O} = {J_C} + A{d^2} ^{(11.9)}\]
Desta maneira, o momento de inércia de uma área em torno de um eixo é igual ao momento de inércia da área em torno de um eixo que passe pelo centroide da área, acrescido do produto da área pelo quadrado da distância perpendicular entre os eixos.
A demonstração das equações 11.7, 11.8 e 11.9 podem ser encontradas no link:
Capítulo X - Parte I | Momentos de Inércia
Considere a figura 16(a), que apresenta uma área A que tem momentos de inércia \({I_x}\), \({I_y}\) e momento polar de inércia \({J_O}\). Se imaginarmos toda a área \(A\) concentrada ao longo de uma estreita faixa situada a uma distância \({k_x}\) do eixo \(x\), como na Figura 16(b), o momento de inércia dessa área concentrada seria \({k_x}A = {I_x}\), e a distância \({k_x}\) é chamada raio de giração em relação ao eixo \(x\). De maneira análoga podemos imaginar a área concentrada com um raio de giração \({k_y}\), na Figura 16(c), e \({k_O}\), na Figura 16(d) em relação ao eixo \(y\) e ao polo \(z\) respectivamente.
Desta forma, teríamos os raios de giração dados por:
\[\begin{array}{l} {k_x} = \sqrt {\frac{{{I_x}}}{A}} \\ {k_y} = \sqrt {\frac{{{I_y}}}{A}} \\ {k_O} = \sqrt {\frac{{{J_O}}}{A}} \end{array} ^{(11.10)}\]
O raio de giração tem dimensão de comprimento e é utilizado em projetos de colunas em mecânica estrutural.
Quando as áreas não são figuras geométricas conhecidas, e sim funções matemáticas, as equações 11.5 podem ser integradas para determinarmos os momentos de inércia para a área.
Exemplos podem ser encontrados no link a seguir:
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia de Inércia
Esse método consiste em analisar objetos que são compostos por outras áreas ou formas geométricas mais simples, como círculos, semicírculos, quadrados, retângulos e triângulos.
Uma vez conhecido o momento de inércia de cada uma das partes em relação a u eixo comum, o momento de inércia da área composta é simplesmente igual à soma algébrica dos momentos de inércia de todas as partes que a compõem.
O momento de inércia de massa de um corpo rígido é uma medida da distribuição de sua massa em relação a um eixo e, para esse eixo, é uma propriedade constante do corpo.
Matematicamente, o momento de inércia de massa é dado por:
\[I = \int\limits_m {{r^2}dm} ^{(11.11)}\]
Onde \(r\) é a distância perpendicular do elemento de massa \(dm\) (Figura 17) até o eixo em questão.
Se um corpo for constituído por uma densidade de massa variável, \(\rho = \rho (x,y,z)\), então, a massa infinitesimal pode ser expressa em função da densidade e do volume \(dm = \rho dV\), de modo que a equação do momento de inércia de massa passa a ser escrita como:
\[I = \int\limits_V {{r^2}\rho dV} ^{(11.12)}\]
E, para sistemas de massa constante, temos
\[I = \rho \int\limits_V {{r^2}dV} ^{(11.13)}\]
A integração pode ser simplificada quando o volume escolhido possuir uma dimensão infinitesimal em apenas uma direção. Para esse propósito, são frequentemente utilizados discos e cascas, para facilitar este processo de integração.
Aula Concluída!
Avançar