| Unidade 2 -
Estudantes, em nossa última aula da unidade, falaremos sobre o trabalho virtual. Continue estudando para desenvolver as competências e habilidades necessárias a essa área de atuação e do conhecimento.
Antes de definirmos o que é trabalho virtual, nós devemos retomar o conceito de trabalho de uma força, visto em Física 1.
Em mecânica, dizemos que uma força realiza trabalho quando esta realiza um deslocamento num objeto na direção da força.
Para ilustrar essa condição, vamos considerar a figura 18, onde uma força F está sobre uma trajetória s especificada pelo vetor posição r.
À medida que a força se move ao longo da trajetória para uma nova posição \(r' = r + dr\), o deslocamento é \(dr\). Assim,
definimos o trabalho \(dU\) por uma grandeza escalar dada por:
\[dU = F \cdot dr {(12.1)}\]
É fácil ver pela figura que, como \(dr\) é um elemento de caminho infinitesimal, ele pode ser representado pelo arco de trajetória circular \(ds\) e, assim, se o ângulo entre \(dr\) e \(F\) for \(\theta \), utilizando a definição de produto escalar, podemos escrever:
\[dU = Fds\cos \theta ^{(12.2)}\]
Para obtermos o trabalho total, basta efetuarmos uma integração de caminho e obteremos:
\[U = \int {dU \Rightarrow U = \int {Fds\cos \theta } } ^{(12.3)}\]
No SI, a unidade de medida de trabalho é o Joule (J), que é o equivalente ao trabalho realizado por uma força de 1 N por um deslocamento de 1 m.
Um binário também pode realizar trabalho. Neste caso, quando ele gira em relação a um eixo perpendicular a seu plano. O trabalho realizado por um binário é matematicamente expresso pela equação:
\[dU = Md\theta ^{(12.4)}\]
Onde \(d\theta \) é o elemento infinitesimal de ângulo efetuado pela rotação do corpo rígido submetido ao binário.
Desta maneira, vimos até agora as definições de trabalhos reais, trabalhos de uma força e de um binário que apresentavam movimentos reais, denotados por elementos infinitesimais de caminho linear \(ds\) ou de angular \(d\theta \).
Vamos considerar agora o caso de um movimento imaginário, dito movimento virtual, que indica um deslocamento ou uma rotação que não existe na realidade. Nesses casos, os movimentos são representados por elementos infinitesimais de primeira ordem e são utilizados os símbolos \(\delta s\) e \(\delta \theta \). Portanto, o trabalho virtual realizado por uma força durante um deslocamento imaginário \(\delta s\) é:
\[\delta U = F\cos \theta \delta s ^{(12.3)}\]
Enquanto o trabalho virtual realizado por um binário sujeito a uma rotação imaginária \(\delta \theta \) é:
\[\delta U = M\delta \theta ^{(12.6)}\]
Veremos agora como utilizar a teoria do trabalho virtual para partículas e para um corpo rígido. Para um ponto material, nós vamos partir do produto escalar:
\[\delta U = \sum F \cdot \delta r ^{(12.7)}\]
Abrindo essa equação, obteremos:
\[\delta U = (\sum {{F_x}i + } \sum {{F_y}j + } \sum {{F_z}k} ) \cdot (\delta xi + \delta yj + \delta zk)\]
\[\delta U = \sum {{F_x}\delta x + } \sum {{F_y}\delta y + } \sum {{F_z}\delta z} \]
Para que o ponto material esteja sob equilíbrio estático, é necessário que \(\sum {{F_x} = } \sum {{F_y} = } \sum {{F_z} = 0} \) de modo que o trabalho virtual seja nulo, ou seja:
\[\delta U = 0 ^{(12.8)}\]
Portanto, dependendo das dimensões do problema analisado, podemos escrever três equações independentes do trabalho virtual para cada uma das três condições de equilíbrio.
Podemos citar como exemplo uma bola que está em repouso sobre um piso. Se "imaginarmos" a bola se deslocando para baixo, ou seja, realizando um deslocamento virtual \(\delta y\), o peso então realiza trabalho virtual positivo \(W\delta
y\) enquanto que a força normal realiza um trabalho virtual negativo \( - N\delta y\). No equilíbrio, temos:
\[\delta U = W\delta y - N\delta y = (W - N)\delta y = 0\]
Já que \(\delta y \ne 0\), pois estamos imaginando a bola se deslocando para baixo, devemos ter necessariamente que \(N = W\) como condição para que o equilíbrio ocorra.
Para corpos rígidos, o princípio é o mesmo, exceto pelo fato de que corpos rígidos podem efetuar momento e, portanto, podem girar. Neste caso, a condição de equilíbrio continua sendo a equação 12.8, acrescido da condição de que o momento total também deve ser nulo. Na situação em que o corpo rígido se encontra no plano \(x{\rm{ - }}y\), temos as equações:
\[\sum {{F_x} = 0,} {\rm{ }}\sum {{F_y} = 0{\rm{ e }}\sum {{M_O} = 0} } \]
Eu recomendo o link para aqueles alunos que desejam aprofundar os conhecimentos sobre o método do trabalho virtual para corpos rígidos:
Princípio dos Trabalhos Virtuais. Na página 22 dessa apostila do link vocês podem encontrar alguns exemplos.
O método do trabalho virtual é muito mais adequado na análise de corpos interligados, como os da Figura a seguir.
É necessário, antes, determinarmos os graus de liberdade que o sistema apresenta para, em seguida, estabelecer as coordenadas que definem a posição desse sistema. Por exemplo, na Figura 19, no sistema composto do lado esquerdo, o cilindro se move dentro da fenda à medida que o braço gira de um ângulo \(\theta \). Deste modo, a posição \(x\) do
cilindro depende da angulação do braço, de modo que precisamos apenas conhecer a coordenada de posição \(\theta \) para que a posição de todo sistema seja determinado. Assim, esse sistema de corpos rígidos apresenta um grau de liberdade. A mesma análise pode ser realizada na figura da direita, a qual apresenta dois graus de liberdade.
Feito isso, podemos aplicar o método do trabalho virtual (\(\delta U = 0\)) para as coordenadas de posição definidas a partir da quantificação dos graus de liberdade.
Na equação 12.3, para resolvermos a integral, precisamos conhecer a relação entre a força e o deslocamento, uma vez que a integral é realizada ao longo do caminho. Entretanto, algumas forças não dependem da trajetória, mas apenas dos pontos inicial e final e são chamadas forças conservativas, como a força peso, a força em uma mola elástica e a força elétrica.
Para a força peso, o trabalho é dado por:
\[\begin{array}{l} U = \int\limits_s {W\cos } \theta ds = \int\limits_0^y {Wdy} \\ \therefore U = Wy \end{array} ^{ (12.9)}\]
Para um corpo que se move para baixo (Figura 20) onde y é a altura em relação ao solo.
Já o trabalho realizado por uma mola elástica é dado por:
\[\begin{array}{l} U = \int\limits_{{s_1}}^{{s_2}} {{F_s}ds} = \int\limits_{{s_1}}^{{s_2}} {( - ks)ds} \\ \therefore U = - \left(
{\frac{1}{2}ks_2^2 - \frac{1}{2}ks_1^2} \right) \end{array} ^{(12.10)}\]
Onde \({s_1}\) e \({s_2}\) são as posições inicial e final da mola (figura 21) e \(k\) é a constante de rigidez da mola.
Em Mecânica, quando uma força dita conservativa atua sobre um corpo rígido, esta passa a ter a capacidade de realizar trabalho. Essa capacidade de realizar trabalho é chamada de energia e, quando essa energia depende da posição, dizemos se tratar de uma energia potencial.
Em estática, trabalharemos com duas formas de energia potencial. A primeira é a energia potencial gravitacional, que está relacionada à altura e matematicamente expressa por:
\[{V_g} = Wy = mgy ^{(12.11)}\]
Onde \(m\) é a massa do corpo, \(g\) é a aceleração da gravidade e \(y\) é a altura relativa a um referencial.
A segunda é a energia potencial elástica associada à posição relativa de um sistema massa-mola e matematicamente dada por:
\[{V_e} = \frac{1}{2}k{s^2} ^{(12.12)}\]
Onde \(k\) é a constante de rigidez da mola e \(s\) é a posição da mola em relação à posição de equilíbrio.
É importante conhecer o universo que envolve o sistema a ser analisado. Por exemplo, as forças são conservativas na ausência de forças dissipativas, ou seja, na ausência de forças que dissipam energia (perdem energia) e/ou de forças resistivas, como o atrito e a resistência do ar.
Matematicamente, expressaremos o critério da energia potencial para equilíbrio através da equação:
\[\frac{{dV}}{{dq}} = 0 ^{(12.13)}\]
Onde \(q\) é chamada de coordenada generalizada de posição, ou seja, pode assumir posições lineares \(x,y\) e \(z\) e angulares \(\theta \). V é a energia potencial que poderá ser a energia potencial gravitacional ou a elástica.
A seguir, vamos utilizar esse critério para definir o tipo de equilíbrio de acordo com sua estabilidade.
Existem três tipos de equilíbrio: o estável, o instável e o indiferente ilustrados da figura 22.
No equilíbrio estável, ilustrado pela situação A, na figura anterior, qualquer perturbação na posição da bola faz com que a bola saia da condição de equilíbrio. Entretanto, após certo intervalo de tempo, a bola retorna para sua posição de equilíbrio.
Agora, vamos utilizar o critério da energia potencial para o equilíbrio. Uma vez que a estabilidade do corpo é investigada, é preciso investigar a segunda derivada da energia potencial \(V\) em relação à coordenada de posição
generalizada \(q\). A condição de equilíbrio estável requer que:
\[\frac{{dV}}{{dq}} = 0{\rm{ }}\frac{{{d^2}V}}{{d{q^2}}} > 0 ^{(12.14)}\]
Onde \(V = V(q)\) é mínima.
No caso do equilíbrio instável, ilustrado na situação B da figura 22, qualquer perturbação tira a bola do equilíbrio, porém, ela não retornará para o equilíbrio após transcorrer certo período de tempo.
Analisando agora a estabilidade do equilíbrio através da energia potencial, temos que
\[\frac{{dV}}{{dq}} = 0{\rm{ }}\frac{{{d^2}V}}{{d{q^2}}} < 0 ^{(12.15)}\]
Onde \(V = V(q)\) é máxima.
Finalmente, na condição de equilíbrio indiferente, situação C da figura 22, perturbações na posição de equilíbrio não retira o objeto do equilíbrio e, utilizando a energia potencial, tem-se:
\[\frac{{dV}}{{dq}} = 0{\rm{ }}\frac{{{d^2}V}}{{d{q^2}}} = 0 ^{(12.16)}\]
Essas derivadas segundas representam
pontos de inflexão no gráfico \(V\) vs \(q\) que podem ser encontrados no link a seguir
Tipos de Equilíbrio
Esses gráficos auxiliam ainda mais na
compreensão da estabilidade do equilíbrio dos corpos rígidos.
Aula Concluída!
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