| Unidade 3 -
Para projetar uma viga, devemos estabelecer a magnitude do cortante e do momento (e da carga axial, se for significativa) em todas as seções ao longo do eixo da barra.
Se a seção transversal de uma viga é constante ao longo de seu comprimento, é projetada para os valores máximos de momento e cortante dentro do vão. Se a seção transversal varia, o projetista deve investigar mais seções para verificar se a capacidade da barra é adequada para suportar o cortante e o momento.
(LEET; UANG; GILBERT, 2009, p. 180).
Para fornecer essas informações graficamente, construímos diagramas de cortante e de momento. Essas curvas, que de preferência devem ser desenhadas em escala, consistem em valores de cortante e momento plotados como ordenadas em relação à distância ao longo do eixo da viga. Embora possamos construir curvas de cortante e de momento cortando corpos livres em intervalos ao longo do eixo de uma viga e escrever equações de equilíbrio para estabelecer os valores de cortante e momento em seções específicas, é muito mais simples construir essas curvas a partir das relações básicas existentes entre carga, cortante e momento.
Para estabelecer a relação entre carga, cortante e momento, consideraremos o segmento de viga mostrado na figura (a). O segmento é carregado por uma carga distribuída w = w(x), cujas ordenadas variam com a distância x a partir de uma origem o localizada à esquerda do segmento.
Podemos supor que a carga distribuída é constante no comprimento do elemento. Com base nessa suposição, a resultante da carga distribuída está localizada no ponto central do elemento. As curvas que representam a variação do cortante e do momento ao longo do eixo da barra são mostradas na Figura b e c. Denotaremos o cortante e o momento na face esquerda do elemento na Figura d por V e M respectivamente.
Para indicar que ocorre uma pequena alteração no cortante e no momento ao longo do comprimento dx do elemento, adicionamos as quantidades diferenciais dV e dM ao cortante V e ao momento M para estabelecer os valores de cortante e momento na face direita.
Temos então que a inclinação da curva de cortante em um ponto específico ao longo do eixo de uma barra é igual à ordenada da curva de carga nesse ponto.
Se a carga atua para cima, a inclinação é positiva (para cima e à direita). Se a carga atua para baixo, a inclinação é negativa (para baixo e à direita). Em uma região da viga em que nenhuma carga atua, w = 0.
Para essa condição, a Equação define que a inclinação da curva de cortante é zero — indicando que o cortante permanece constante. Para estabelecer a relação entre cortante e momento, somamos os momentos das forças que atuam no elemento sobre um eixo normal ao plano da viga e que passam pelo ponto o
\[ dM=V ~ dx \\ \Delta {{M}_{A-B}}= {{M}_{B}} - {{M}_{A}} = \underset{A}{\overset{B}{\mathop \int }}\, dM=
\underset{A}{\overset{B}{\mathop \int }}\, V ~ dx \\ \Delta {{M}_{A-B}}=\text{ área sob a
curva de cortante entre } A \text{ e } B \]
Onde a área positiva sob a curva de cortante produz uma alteração positiva no momento, e uma área negativa sob a
curva de cortante produz uma alteração negativa. Dividindo os dois lados por dx:
\[ \frac{dM}{dx}=V\]
Temos então que a inclinação da curva de momento em qualquer ponto ao longo do eixo de um membro é o cortante nesse ponto.
As ordenadas da curva de cortante são positivas, a inclinação da curva de momento é positiva (dirigida para cima e à direita). Analogamente, se as ordenadas da curva de cortante são negativas, a inclinação da curva de momento é negativa (dirigida para baixo e à direita).
Em uma seção na qual V = 0, a Equação indica que a inclinação da curva de momento é zero — uma condição que estabelece o local de um valor de momento máximo. Se o cortante é zero em várias seções de um vão, o projetista deve calcular o momento em cada seção e comparar os resultados para definir o valor de momento máximo absoluto no vão. Uma força concentrada produz uma alteração acentuada na ordenada de uma curva de cortante. Se considerarmos o equilíbrio na direção vertical do elemento na Figura a, A alteração no cortante entre as duas faces do elemento será igual à magnitude da força concentrada. Analogamente, a alteração no momento em um ponto é igual à magnitude do momento concentrado M1 no ponto.
Para construir os diagramas de cortante e momento para uma viga que suporta cargas concentradas e distribuídas, primeiramente calculamos o cortante e o momento na extremidade esquerda da barra. Então, passamos para a direita e localizamos o próximo ponto na curva de cortante, somando algebricamente, ao cortante à esquerda, a força representada pela área sob a curva de carga entre os dois pontos ou por uma carga concentrada. Para estabelecer um terceiro ponto, uma carga é adicionada ou subtraída do valor do cortante no segundo ponto.
O processo de localização de pontos adicionais continua até que o diagrama de cortante esteja concluído. Normalmente, avaliamos as ordenadas do diagrama de cortante em cada ponto onde uma carga concentrada atua ou onde uma carga distribuída começa ou termina. De maneira semelhante, os pontos no diagrama de momento são estabelecidos somando algebricamente ao momento, em um ponto específico, o incremento do momento representado pela área sob a curva de cortante entre um segundo ponto.
Vamos descrever o cálculo dos esforços solicitantes de Força axial, momento fletor e esforços cortante atuantes em uma estrutura de uma viga isostática.
Como visto anteriormente O momento de uma força em relação ao ponto é o produto da força com a distância desta para o ponto. Consideremos, agora, uma força F que atua em um determinado ponto da viga. Este ponto é denominado de “C”, localizado no vão da viga a uma distância “x” da força.
Os esforços de cortante e momento são as forças internas em uma viga ou pórtico, produzidas pelas cargas transversais aplicadas.
O cortante atua perpendicularmente ao eixo longitudinal, e o momento representa o conjugado interno produzido pelas tensões de flexão. Essas forças são avaliadas em um ponto específico ao longo do eixo da viga, cortando a viga com uma seção imaginária perpendicular ao eixo longitudinal.
A força cortante, como produz equilíbrio na direção normal ao eixo longitudinal da barra, é avaliada pela soma das forças perpendiculares ao eixo longitudinal; isto é, para uma viga horizontal, somamos as forças na direção vertical.
O momento interno M em uma seção é avaliado somando os momentos das forças externas que atuam no corpo livre em um dos lados da seção sobre um eixo (perpendicular ao plano da barra) que passa pelo centroide do corte transversal. O momento será considerado positivo se produzir tensões de compressão nas fibras superiores do corte transversal e tração nas fibras inferiores
A figura mostra a convenção usada para o cálculo dos esforços internos de cortante e momento fletor, segundo Leet, Uang e Gilbert (2009, p. 173).
A força axial em uma seção transversal é avaliada somando todas as forças perpendiculares à seção transversal. As forças que atuam para fora da seção transversal são forças de tração T; aquelas dirigidas para a seção transversal são forças de compressão C. (LEET, UANG; GILBERT, 2009, p. 173)
Para definir as reações de apoio da estrutura, é necessário aplicar o princípio do equilíbrio das forças. Uma vez definidas todas as reações, podemos encontrar o momento em qualquer ponto ou secção da nossa estrutura.
O momento fletor tem intensidades distintas ao longo do vão e o melhor mecanismo para visualizar o seu comportamento é traçar o diagrama de momento fletor (para o caso de flexão).
Portanto:
o diagrama de momento fletor fornece informações detalhadas sobre a variação do momento fletor ao longo do eixo da estrutura e são usados frequentemente pelos engenheiros e projetistas para decidir onde colocar materiais de reforço na peça ou como definir as dimensões desta ao longo do seu comprimento
(HIBBELER, 2008)
Assim como no momento fletor, o diagrama de esforço cortante fornece informações importantes e detalhadas sobre a variação do cisalhamento ou esforço cortante ao longo do eixo da peça. Nas vigas, o esforço cortante tem uma influência significativa sobre o cálculo das armaduras. O dimensionamento dos estribos é feito a partir dos valores de cortante encontrados, principalmente os valores máximos.
Para exemplificar as etapas de cálculo de esforços de momento fletor e de cortante, utilizaremos a viga abaixo, que sofre dois tipos de carregamento distintos: um carregamento distribuído e outro pontual. O primeiro passo é calcular as reações nos apoios A e B, através do princípio de equilíbrio das forças calcular o momento fletor na seção “c” da viga
\[\sum {{F}_{x}}=0\text{}\!\!~\!\!\text{ }\to \text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{H}_{A}}-{{H}_{B}}=0\text{}\!\!~\!\!\text{ }\to \text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{H}_{A}}={{H}_{B}} \\ \sum {{F}_{y}}=0\text{}\!\!~\!\!\text{ }\to \text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{V}_{A}}+{{V}_{B}}-100=0\text{}\!\!~\!\!\text{ }\to \text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{V}_{A}}+{{V}_{B}}=100 \\ \sum {{M}_{A}}=0\text{
}\!\!~\!\!\text{ }\to \text{ }\!\!~\!\!\text{ }-100\text{ }\!\!~\!\!\text{}x\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2+4x{{V}_{A}}=0\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\to \text{}\!\!~\!\!\text{ }{{V}_{B}}=\frac{200}{4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }=50\text{
}\!\!~\!\!\text{ }KN \\ {{V}_{A}}+{{V}_{B}}=100\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\to \text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{V}_{A}}=50KN\]
Depois que todas as reações de apoio são encontradas, é possível calcular o momento em qualquer ponto da nossa viga, utilizando o método das secções. Este método consiste em fazer o somatório de momentos gerados pela (s) força (s) atuante (s) à esquerda e à direita da secção ou ponto desejado.
Numa estrutura em equilíbrio, o somatório de momentos gerados pelas forças à esquerda tem que se igualar ao somatório de momentos gerados pelas forças à direita da secção estudada. Vamos utilizar o método das secções para determinar o momento no ponto c. Momento em c vindo pela esquerda tem que ser igual ao momento vindo pela direita.
\[{{M}_{Cesq}}=\text{}\!\!~\!\!\text{ }{{M}_{Cdir}} \\ {{\text{M}}_{Cesq}}=50\text{ }\!\!~\!\!\text{ }x\text{ }\!\!~\!\!\text{
}1-25\text{ }\!\!~\!\!\text{ }x\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0,5 \\ {{M}_{Cesq}}=37,5\text{ }\!\!~\!\!\text{ }kN.m \\ {{M}_{Cdir}}=50\text{ }\!\!~\!\!\text{ }x\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3-75\text{ }\!\!~\!\!\text{
}x\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1,5 \\ {{M}_{Cdir}}=37,5\text{}\!\!~\!\!\text{ }kN.m\]
Note que no momento em “c” pela esquerda foram consideradas apenas as forças que estavam gerando momento à esquerda do ponto, idem para o momento em “c” pela direita. O valor de momento em ambos os casos deu igual a 37,5 KN.m, o que significa que a estrutura está em equilíbrio.
Saiba mais! Não deixe de assistir aos vídeos que tratam de cálculo de reações de estruturas para aprender como podemos fazer esses cálculos:
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