| Unidade 2 -
Estudantes, na aula anterior, vimos como determinar a posição, a velocidade e a aceleração de um móvel e, agora, daremos mais um passo a frente no estudo da dinâmica. Nesta aula, vamos começar a estudar as causas do movimento, ou seja, o que faz com que os objetos iniciem seu movimento. Continue os estudos desta disciplina e boa aula!
Existem várias metodologias que podem ser utilizada para resolução de problemas de dinâmica, entre as quais podemos citar o método das forças e acelerações (tema desta aula), o método da energia e trabalho (que será visto na aula seguinte) e, por fim, o método do impulso e quantidade de movimento, que será abordado na nossa última aula do curso. A seguir, vamos retomar alguns conceitos fundamentais e necessários para nos aprofundarmos.
A segunda lei de Newton pode ser enunciada da seguinte forma:
“A força resultante que atua num corpo é diretamente proporcional à sua aceleração e aponta na mesma direção dela”
Matematicamente, essa lei será expressa da seguinte forma:
\[\sum {\vec F = m\vec a} ^{ (14.1)}\]
Onde \(\sum \overrightarrow{F}\) representa o somatório da forças que atuam sobre o corpo, ou seja, a resultante das forças, m é a massa do corpo e \(\overrightarrow{a}\) é a aceleração adquirida.
Observe que o sistema de referência em relação ao qual a aceleração na equação 14.1 é determinada não é arbitrário. Estamos falando do sistema de referência newtoniano, ou seja, este está em repouso ou com velocidade constante em relação às estrelas localizadas no centro do sistema solar.
Retomando a equação 14.1, podemos utilizar a definição de aceleração \(a = dv{\rm{/}}dt\). Dessa maneira, teremos:
\[\sum {F = m\frac{{dv}}{{dt}}} \]
Em sistemas onde a massa do corpo permanece constante, temos que a taxa de variação de massa é nula, ou seja, a massa não varia no tempo e sua derivada em relação ao tempo é zero:
\[\frac{{dm}}{{dt}} = 0 ^{ (14.2)}\]
Portanto, podemos escrever utilizando a regra da derivada do produto:
\[\sum {F = \frac{{dm}}{{dt}}v + m\frac{{dv}}{{dt}}} \]
\[\sum {F = \frac{d}{{dt}}} \left( {mv} \right) ^{ (14.3)}\]
Chamamos o vetor \(mv\) de quantidade de movimento linear, ou momento linear o simplesmente momento de
um corpo.
Portanto, podemos definir matematicamente o momento linear como:
\[L = mv { ^(14.4)}\]
Podemos utilizar a notação \(\dot L\) para denotar uma derivada temporal, ou seja:
\[\dot L = \frac{{dL}}{{dt}} ^{ (14.5)}\]
Desta maneira, a equação 14.3 pode ser escrita da seguinte maneira:
\[\sum {F = \dot L} ^{ (14.6)}\]
Decorre da equação 14.6 que, se a força resultante que atua num corpo for nula, a taxa de variação da quantidade de movimento linear também será. Assim, a derivada do momento linear é nula. O vetor momento linear é uma constante em intensidade, direção e sentido
Esse é o princípio da conservação da quantidade de movimento linear e foi dessa maneira que Newton enunciou a sua segunda lei do movimento.
Observe que a equação 14.1, \(\sum {\vec F = m\vec a}\), está escrita em sua forma vetorial. Entretanto, para resolução de problemas em engenharia é mais conveniente resolvê-la em sua forma escalar. Para isso, precisamos definir o sistema de coordenadas mais conveniente.
Se a simetria do problema exigir o uso de coordenadas cartesianas convencionais, decompomos os vetores de força \(\overrightarrow {F}\) e aceleração \(\overrightarrow {a}\) em coordenadas retangulares:
\[F = {F_x}i + {F_y}j + {F_z}k\]
E:
\[a = {a_x}i + {a_y}j + {a_z}k\]
Assim, a equação 14.1, fica:
\[\sum {\left( {{F_x}i + {F_y}j + {F_z}k} \right)} = m\left( {{a_x}i + {a_y}j + {a_z}k} \right) ^{(14.7)}\]
De onde podemos tirar três equações independentes:
\[\begin{array}{l} \sum {{F_x} = m{a_x}} \\ \sum {{F_y} = m{a_y}} \\ \sum {{F_z} = m{a_z}} \end{array} ^{ (14.8)}\]
Agora, se o problema puder ser analisado em componentes normal e tangencial (Figura 5), podemos decompor a
força e aceleração da seguinte maneira:
\[F = {F_t}{e_t} + {F_n}{e_n}\]
E:
\[a = {a_t}{e_t} + {a_n}{e_n}\]
Onde \(F_{t}\) é a componente da força na direção tangencial, \(F_{n}\) é a componente da força na direção normal, \(a_{t}\) é a componente da aceleração na direção tangencial e \(a_{n}\) é a componente da aceleração na direção normal.
Utilizando as definições da equação 13.9 e aplicando-as à equação 14.1, podemos obter as seguintes equações:
\[\sum {{F_t} = m\frac{{dv}}{{dt}}} ^{ (14.9)}\]
E:
\[\sum {{F_n} = m\frac{{{v^2}}}{\rho }} ^{ (14.10)}\]
Essas equações constituem um sistema de duas incógnitas para ser resolvidos nos problemas de simetria curvilínea.
Vocês podem encontrar a resolução de alguns problemas envolvendo equações de movimento no link abaixo:
Mecânica I | Equação do movimento para um sistema de partículas - Centro de massa
A figura 6 mostra uma partícula P viajando com uma velocidade v. Enquanto a partícula viaja, o vetor r que liga a partícula à origem O efetua um giro em relação a esse ponto. O momento em relação a O do vetor mv é chamado de quantidade de movimento angular ou simplesmente momento angular representado por \(H_{O}\).
Matematicamente, podemos definir o momento angular da seguinte forma:
\[{H_O} = r \times mv ^{ (14.11)}\]
O que é um produto vetorial. Observando a Figura 6, podemos escrever essa equação na forma escalar, lembrando da definição do produto vetorial:
\[{H_O} = rmv{\rm{sen}}\phi ^{ (14.12)}\]
Onde \(\phi \) é o ângulo que o momento linear faz com a direção do vetor posição r que localiza a partícula P no espaço.
Podemos ainda escrever o momento angular em termos das coordenadas retangulares da seguinte maneira:
\[{H_O} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} i j k\\ x y z\\ {m{v_x}} {m{v_y}} {m{v_z}} \end{array}} \right| ^{ (14.13)}\]
Isso resultará em três equações independentes:
\[\begin{array}{l} {H_x} = m\left( {y{v_z} - z{v_y}} \right)\\ {H_y} = m\left( {z{v_x} - x{v_z}} \right)\\ {H_x} = m\left( {x{v_y} - y{v_x}} \right) \end{array} ^{ (14.14)}\]
Se nos depararmos com um problema de dinâmica em coordenadas polares, como na Figura 7, podemos decompor a força e a aceleração em componentes radial e transversal:
\[F = {F_r}{e_r} + {F_\theta }{e_\theta }\]
e
\[a = {a_r}{e_r} + {a_\theta }{e_\theta }\]
Desta maneira, podemos utilizar a equação 13.22 e substituir na equação 14.1 para obtermos:
\[\begin{array}{l} \sum {{F_r} = m\left( {\ddot r - r{{\dot \theta }^2}} \right)} \\ \end{array} ^{ (14.15)}\]
E:
\[\sum {F\theta = m\left( {r\ddot \theta + 2\dot r\dot \theta } \right)} ^{ (14.16)}\]
Que são duas equações independentes que podem ser utilizadas para obtenção de duas incógnitas.
Quando uma única força atua sobre um corpo que aponta para um ponto O fixo ou se afastando dele, dizemos se tratar de um movimento sob a ação de uma força central (Figura 8). Podemos citar como exemplos de força central a força gravitacional e a força elétrica.
Derivando no tempo a equação 14.11, podemos mostrar que o momento da força é igual a taxa de variação domomento angular:
\[{M_O} = \frac{{d{H_O}}}{{dt}} ^{ (14.17)}\]
E, utilizando a notação \({\dot H_O} = \frac{{d{H_O}}}{{dt}}\), podemos escrever:
\[{M_O} = {\dot H_O} \text{ (14.18)}\]
Pode-se mostrar que, como a linha de ação da força F passa por O, o momento da força é nulo \({M_O} = 0\). Portanto:
\[{\dot H_O} = 0 ^{ (14.19)}\]
A taxa de variação do momento angular é nula, ou seja, o momento angular é uma constante \({H_O} = {\rm{constante}}\). Esse é o princípio da conservação do momento angular, que pode ser também escrito como:
\[rmv{\rm{sen}}\phi = {r_0}m{v_0}{\rm{sen}}{\phi _0} ^{ (14.20)}\]
Onde utilizamos a equação 14.12.
Para maiores informações e demonstrações sobre o tópico de movimentos sob a ação de uma força central acesse o link:
Mecânica I | Movimento sob a ação de força central
Vocês poderão encontrar uma série de problemas que são simplificados a partir do uso do método do trabalho-energia no link
abaixo:
Mecânica I | Cinética de uma partícula: trabalho e energia
Vamos inicialmente definir trabalho e deslocamento usados em mecânica. Para isso, considere a Figura 9 na qual uma partícula se move de um ponto A para o ponto A’ sob a ação de uma força F.
O vetor \(r\) é o vetor posição do ponto A, enquanto que o vetor que liga os pontos A e A’, representado por \(dr\), é chamado de deslocamento da partícula. Assim, definimos o trabalho da força \(F\) correspondente ao deslocamento \(dr\) pela seguinte expressão:
\[dU = F \cdot dr ^{ (15.1)}\]
Este é o produto escalar entre a força e o deslocamento. No S.I., a unidade de medida do trabalho é o joule (J).
Se o módulo da força for \(F\), do deslocamento for \(ds\) e \(\alpha \( for o ângulo entre a força e o deslocamento, podemos reescrever a equação 15.1 como:
\[dU = Fds\cos \alpha ^{ (15.2)}\]
Para obtermos o trabalho finito, devemos estabelecer um limite como na Figura 10, na qual definimos os pontos \(A_{1}\) e \(A_{2}\).
Integrando a equação 15.1 nos limites estabelecidos pela Figura 10, temos:
\[{U_{1 \to 2}} = \int\limits_{{A_1}}^{{A_2}} {F \cdot dr} ^{ (15.3)}\]
Isso define o trabalho finito realizado por uma força \(F\) durante um deslocamento entre os pontos \(A_{1}\) e \(A_{2}\).
Considere uma partícula se deslocando ao longo de uma trajetória curvilínea, conforme mostra a figura 11. Vamos partir da definição da segunda lei de Newton em termos das componentes tangenciais da força e da aceleração:
\[{F_t} = m{a_t} ^{ (15.4)}\]
\[{F_t} = m\frac{{dv}}{{dt}} ^{ (15.5)}\]
Lembrando que \(v = ds{\rm{/}}dt\) podemos escrever:
\[{F_t} = m\frac{{dv}}{{ds}}\frac{{ds}}{{dt}}\]
\[{F_t} = m\frac{{dv}}{{ds}}v\]
\[{F_t}ds = mvdv\]
Realizando uma integração de \(A_{1}\), onde \(s = {s_1}\) e \(v = {v_1}\), até \(A_{2}\) onde \(s = {s_2}\) e \(v = {v_2}\), temos:
\[\int\limits_{{s_1}}^{{s_2}} {{F_t}ds} = m\int\limits_{{v_1}}^{{v_2}} {vdv = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2} ^{ (15.6)}\]
Onde chamamos o termo \(\frac{1}{2}m{v^2}\) de energia cinética da partícula T, que é uma grandeza puramente
escalar.
Desse modo, escrevemos:
\[T = \frac{1}{2}m{v^2} ^{ (15.7)}\]
No S.I., a unidade de medida de energia cinética também é joule (J).
Podemos relacionar as equações 15.3, 15.6 e 15.7 para escrevermos:
\[{U_{1 \to 2}} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 = {T_2} - {T_1} = \Delta T ^{ (15.8)}\]
Assim, verificamos claramente que o trabalho para deslocar a partícula do ponto \(A_{1}\) ao ponto \(A_{2}\), é igual a variação de energia cinética da partícula. A equação 15.8 é chamada de teorema trabalho-energia, pois relaciona o trabalho realizado por uma força com a variação de energia cinética de uma partícula.
A grande vantagem de utilizar esse teorema é o fato de lidar com equações puramente escalares, sem se preocupar em decompor a força, nem a aceleração nas coordenadas do problema, sejam elas retangulares ou polares.
Outro fato importante é que, realizando uma análise dimensional das equações 15.1 e 15.7, podemos verificar facilmente que o trabalho e a energia possuem a mesma unidade de medida, o que de fato é também verificado na equação 15.8. Além disso, a energia cinética é sempre positiva, não importando o movimento da partícula.
A utilização da equação 15.8 está restrita a sistemas nos quais não há dissipação de energia.
Definimos potência pela taxa temporal de realização de trabalho. Se \(\Delta U\) é o trabalho realizado durante certo intervalo de tempo \(\Delta t\), a potência média durante aquele intervalo será de:
\[\text{Potência média} = \frac{{\Delta U}}{{\Delta t}}\]
No limite em que \(\Delta t\) tende a zero, temos:
\[\text{Potência} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta U}}{{\Delta t}} = \frac{{dU}}{{dt}} ^{ (15.9)}\]
No S.I., a unidade de medida de potência é o watt (W).
Já a eficiência é definida pela razão entre o trabalho de saída e o trabalho de entrada. Matematicamente:
\[\eta = \frac{\text{trabalho de saída}}{\text{trabalho de entrada}} ^{ (15.10)}\]
As definições de trabalho e eficiência são bastante utilizadas em máquinas térmicas e elétricas para sabermos seus consumos de energia para projetos de máquinas de engenharia.
Recomendamos o link: "Mecânica I | Princípio do trabalho e energia" para os alunos buscarem exemplos e aplicações sobre os conceitos definidos nesta seção.
Forças conservativas são aquelas que não dependem da trajetória, mas apenas das posições inicial e final do objeto. São exemplos de forças conservativas: a força elástica, a força gravitacional e a força elétrica. A essas forças podemos associar uma energia chamada de energia potencial.
A essas forças podemos associar uma energia chamada de energia potencial. Essa forma de energia depende da posição relativa a uma referência.
A energia potencial gravitacional está associada à altura (Figura 12) e é definida como sendo:
\[{V_g} = mgy ^{ (15.11)}\]
Onde m é a massa do objeto, g é a aceleração da gravidade e y é a altura relativa à referência, que será o solo em
vários problemas de engenharia.
A energia potencial elástica está associada ao sistema massa-mola da Figura 13 e é escrita matematicamente como:
\[{V_e} = \frac{1}{2}k{x^2} ^{ (15.12)}\]
Onde k é a constante de rigidez da mola e x é o deslocamento da mola a partir da posição da mola indeformada.
Em sistemas onde somente há forças conservativas, temos que:
\[{U_{1 \to 2}} = {V_1} - {V_2} = - \Delta V ^{ (15.13)}\]
Ou seja, o trabalho realizado pela força é igual ao negativo da variação de energia potencial associado ao sistema. Este fato será importante para escrevermos o teorema de conservação da energia mecânica na seção subsequente:
Quando um objeto se deslocar sob a ação de forças conservativas, o teorema trabalho-energia definido pela equação 15.8 pode ser modificado e, para isso, utilizaremos a equação 15.13 para escrevermos:
\[{V_1} - {V_2} = {T_2} - {T_1}\]
\[{T_1} + {V_1} = {T_2} + {V_2} ^{ (15.14)}\]
Ou seja, a soma da energia cinética e da energia potencial de um objeto permanece constante. A soma da energia cinética com a energia potencial é chamada de energia mecânica E. Desta forma, podemos expressar a equação 15.14 da seguinte maneira:
\[{E_1} = {E_2} ^{ (15.15)}\]
Ou ainda:
\[\Delta E = 0 ^{ (15.16)}\]
As equações 15.14, 15.15 e 15.16 somente são válidas para sistemas submetidos apenas a forças conservativas e onde não há dissipação de energia. A equação 15.16 é chamada também de princípio da conservação da energia mecânica.
Você poderá se informar mais sobre conservação da energia mecânica no link abaixo:
Mecânica I | Forças conservativas e energia potencial - Conservação de energia
Vamos considerar uma partícula de massa m sob a ação de uma força F. Utilizando a equação 14.3:
\[F = \frac{d}{{dt}}\left( {mv} \right)\]
Multiplicando ambos os lados pelo elemento infinitesimal de tempo dt e integrando de \(t_{1}\) até \(t_{2}\), teremos:
\[Fdt = d\left( {mv} \right)\]
\[\int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {Fdt} = m{v_2} - m{v_1}\]
Rearranjando os temos da equação acima, obteremos:
\[m{v_1} + \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {Fdt} = m{v_2} ^{ (16.1)}\]
A integral expressa na equação 16.1 é definida como impulso da força F durante o intervalo de tempo em questão. Escrevemos matematicamente o impulso da seguinte forma:
\[Im{p_{1 \to 2}} = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {Fdt} ^{ (16.2)}\]
onde temos uma equação vetorial. Podemos ainda escrever a equação 16.2 em termos das componentes retangulares no espaço cartesiano. Assim, obteremos três equações independentes:
\[Im{p_{1 \to 2}} = i\int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {{F_x}dt} + j\int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {{F_y}dt} + k\int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {{F_z}dt} ^{ (16.3)}\]
Desta forma, representaremos o impulso em cada uma das direções do sistema de coordenadas cartesiano.
No S.I., a unidade de medida do impulso é \({\rm{N}} \cdot {\rm{s}}\) ou ainda, relembrando da definição de Newton, \({\rm{kg}} \cdot {\rm{m/s}}\).
Observe que a equação 16.1 representa que a quantidade de movimento final \(m{v_2}\) do objeto pode ser obtida adicionando vetorialmente seu momento inicial \(m{v_1}\) com o impulso da força F durante o intervalo de tempo em questão. A Figura 14 ilustra esse procedimento.
Podemos reescrever a equação 16.1 de uma forma mais funcional:
\[m{v_1} + Im{p_{1 \to 2}} = m{v_2} ^{ (16.4)}\]
A equação 16.4 é chamada de princípio do impulso e quantidade de movimento e é bastante semelhante ao teorema trabalho-energia. Porém, a equação 16.4 é uma equação vetorial e precisamos definir um sistema de coordenadas adequado para obtermos uma solução analítica. Em componentes retangulares, podemos escrever:
\[\begin{array}{l} {\left( {m{v_x}} \right)_1} + \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {{F_x}dt} = {\left( {m{v_x}} \right)_2}\\ {\left( {m{v_y}} \right)_1} + \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {{F_y}dt} = {\left( {m{v_y}} \right)_2}\\ {\left( {m{v_z}} \right)_1} + \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {{F_z}dt} = {\left( {m{v_z}} \right)_2} \end{array} ^{ (16.5)}\]
O método de solução explicado na seção anterior é bastante útil no estudo de movimentos impulsivos. Temos um movimento impulsivo quando uma força bastante intensa age sobre uma partícula durante um intervalo extremamente curto de tempo. Um exemplo de movimento impulsivo pode ser obtido quando uma bola de beisebol sofre uma tacada de um rebatedor, como mostra a Figura 15.
Nesta situação, o contato do taco com a bola ocorre durante um intervalo de tempo bastante curto e a força exercida pelo taco é tão intensa que é capaz de alterar facilmente o sentido de movimento da bola de beisebol.
Vale ressaltar que qualquer força que não seja uma força impulsiva pode ser desprezada, devido ao fato dela ser incapaz de alterar o sentido do movimento do móvel. No exemplo da Figura 15, a força peso é desprezada pelo fato de não ser uma força impulsiva.
Estudante, você terá apenas o trabalho de identificar quais são as forças que são capazes de alterar o sentido de movimento do objeto para, então, aplicar as equações 16.5.
Para mais exemplos de movimento impulsivo eu recomendo o link a seguir:
Mecânica I | Teoria do funcional da densidade
Imagine uma colisão entre dois corpos num intervalo de tempo muito curto e, durante esse tempo, os corpos exercem forças relativamente grandes um sobre o outro. Esse tipo de colisão pode ser considerada um impacto. Veja a Figura 16.
No impacto central direto, as velocidades das duas partículas estão direcionadas ao longo da linha de impacto.
Vamos considerar a situação da figura 17(a) onde duas partículas de massas \(m_{A}\) e \(m_{B}\) se movem em linha reta e com velocidades \(v_{A}\) e \(v_{B}\), respectivamente.
Considere ainda que a velocidade da partícula A seja superior que a velocidade da partícula B. Logo, a partícula A alcançará a partícula B. No impacto, ambas as partículas serão deformadas pelas forcas de contato e no final da deformação, Figura 17(b), ambas as partículas possuirão a mesma velocidade u. Após esse processo, inicia-se o processo de restituição e, dependendo das forças de contato e do material que constitui as partículas, elas ficarão deformadas e apresentarão velocidades finais \(v_{A}\)’ e \(v_{B}\)’.
Vamos determinar a intensidade dessas velocidades finais.
Utilizando a equação 16.5 na direção do eixo x é possível definir uma grandeza física chamada de coeficiente
de restituição:
\[e = \frac{{v_B' - v_A'}}{{{v_A} - {v_B}}} ^{ (16.6)}\]
A demonstração da equação 16.6 pode ser encontrada no link a seguir.
Mecânica I | Teoria do funcional da densidade
Como não há forças externas a serem consideradas no movimento impulsivo representado na Figura 17, o momento linear total das partículas se conserva:
\[{m_A}{v_A} + {m_B}{v_B} = {m_A}v_A' + {m_B}v_B' ^{ (16.7)}\]
A partir dessas considerações, existem três casos particulares que merecem destaque:
Nos casos em que \(\left( {e \ne 1} \right)\) a energia não se conserva. Para que isso ocorra, há perdas energéticas em forma de calor, som e ondas elásticas no interior dos corpos.
No impacto central oblíquo, uma ou ambas as partículas se movem ao longo de outra linha que não seja a linha de impacto, Figura 18.
Neste caso, consideraremos as componentes das velocidades ao longo da linha de impacto e, desta forma as equações definidas na seção anterior continuarão sendo válidas também para esse tipo de situação. Assim, será necessário decompor as velocidades nas direções normal e tangencial à superfície de contato das partículas.
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